下記で如何でしょうか。

Summer holidays ended and the new university year began recently. I’m in my fourth year and trying hard to find work.
Five days ago I visited my parent’s house and met with friends as well.

I couldn’t understand what he saidが正しいです (isは不要)。

I couldn’t understand what he is saying. もしくは
I couldn’t understand what he was saying. などでもokです 🙂

just as ～ は　～のように という意味になると思いますが、 just as I am は 私のように のような意味合いになります。

Just as I am ではなく、just as Iでも問題ありません。
意味はほぼ一緒です。

教科書的にはJust as me は文法として正しくないのですが、ネイティヴでも会話の中で使う人がいるかもしれません（just like meのほうが自然ですが）。書く時はas Iと書いた方がいいです。

追加質問がありましたら、聞いて下さい 🙂

Don’t take no shit from nobody は文法ルールを無視したスラングと考えた方がいいです。
スラングでない言い方にすると、Do not take any abuse from anyone のような感じになると思います。
会話の中でしたらdon’t take no 〜は普通ですが、論文に書くように言い方ではありません。
少し極端な訳し方をすると「誰にもコケにされるんじゃねぇよ」のような感じになります。
私のご質問に誤解があったら、また、追加質問がありましたら聞いてください。

＞”This movie wasn’t scary.”という風に、”this”を使うのはおかしいでしょうか。もしおかしいならば、”the movie”もしくは”that movie”とするべきでしょうか。

おかしくないです。この場合はThis movie wasn’t scaryでもThat movie wasn’t scaryでもOKと思います。thisとthatの違いはかなり微妙ですが、どちらも正しいです。「この映画」と「あの映画」と似たような感じでしょうか。

＞to と for どちらを入れるのが適切でしょうか。

これも微妙な違いで、どちらでもOKです。to meの方が少し多く使われる気がします。

それと、to meのほうが安全です。
例えば

For me, he’s smart→× (少し不自然)
To me, he’s smart→○
to meが使えない例は思い浮かびませんが、for meなら、使えない場合はあると思います。

私を含めて多くのネイティヴはtheirを使うと思います。

his/herかhis or herなどを使う人もいると思います。

his or herの方が文法的に正しいと主張する学者もいるようですが、ネイティヴがtheirを使うなら、それは間違いと個人的には思いません。

因みにhis or herを使ってもpolitically correctにはなります。例えばhisのみを使った場合は、politically incorrectになります。

Everyone must bring a book of their choice→○
Everyone must bring a book of his or her choice→○
Everyone must bring a book of their choice→△（文法的には正しいが、politically incorrect）

ladies firstにして「her or his」は一番politically correctかもしれません。

「今年は赤で勝負！」は strut your stuff in red this year！ が近いと思います。ただ、strut your stuff は少しセクシーなニュアンスもあるから、その点に留意。全ての場合には使えないと思います。

「これで勝負」にぴったりの英語は思いつかないけれど、文章によっては、例えば「今夜のデートは赤いドレスで勝負」→ For tonight’s date I will wear my special red dress. のようなアレンジにすると思います。

私なら「firm」や「firm to the bite」と表現します。
→ The noodles are firm to the bite.
少し硬いイメージにはなりますが。

その他 al dente という表現でもいいと思います。al denteという表現はよくパスタに使われます。
→ The pasta was cooked al dente.

後はChewyでもいけると思います。
→ The noodles were nice and chewy.
Chewは噛むの動詞で、chewyは形容詞でモチモチしているという感じななります。

もし食べ応えがあって食べ辛いなのであれば、toughでいいと思います。

Yes and yes.

I carry my camera wherever I go（どこへ行ってもカメラを持つ）
I carry my camera whenever I go（いつ行ってもカメラを持つ）
どちらも文として問題無し。

Wherever I go, I carry my camera.
Whenever I go, I carry my camera.
この二つも、問題無し。

cottageなのかな。。あまり自信ありませんが、「君の小さなコッテージを見に行くね」かもしれません。

『bed head』というスラングがあります。あとは、bed hair でもいいと思います。

Cut upでいいみたいです。

英語→日本語の訳は苦手ですが、訳してみました。
貴殿へ
7月2日のあなたの依頼に対して、次の通りお知らせします。
私の意見ですが、Coralioは世界でもっとも高級靴屋を必要とする村です。3000人が住んでいるのに、靴屋は一つもありません。こちらの海岸は事業を起こす人が多いのですが、残念ながら靴のビジネスは無視されている。実は、靴を持っていない村人もいます。

問題ないと思いますよ。ご参考に他のバリエーションを書いてみました。

The dogs are so cute, despite their disabilities.
The same can be true for humans.

Maikoさんの文章で問題ないと思いますが、私なら下記のように書きます。

Watching this video makes my heart pound. But at the same time, I’m jealous of him.

ご参考までに。

yourselfはreflexive pronoun（再帰代名詞）で「あなた自身」の意味で使われます。

基本的にyouは文章に先にきて、その後に使われます。
例：Can you do it yourself? （あなたはあなた自身で出来ますか？）

I’d like you to know about yourselfなら文法的には正しいですね（あなたに自分自身について知ってもらいたい）

話し言葉として、例えば「how about yourself?」(あなたはどう？)などの使い方もあります。これは丁寧な/ビジネスっぽい言い方です。レストランの店員なら、あなたは何にしますか？と聞く時に「How about yourself?」と言うかもですね。
youを強調したい時もこの言い方はは有りかもです。例えば「オレがやる！」とオレを強調したい時も同じ文系を使い「I myself will do it!」と言えます。

他に再帰代名詞こんなにあります（全部「～自身」を意味する）：
myself（私自身）
ourselves（私たち自身）
herself（彼女自身）
ourselves
yourself
yourselves
himself
itself
themselves
oneself

私は「逃げようとせずに」と「逃げないように」の微妙な違いを理解していないかもですが、少しコメントしてみます。

try not to は一般的な言い方と思います。ほとんどのネイティヴは「彼は逃げようとしなかった」を「he did not try to run」と言うと思います。
seek no toは、聖書のような文書、もしくはことわざに出てくるような表現に使われると思います（e.g., seek not to do evil→ 悪をするな。リンクをご参照下さい）

he did not seek to run – 「彼は逃げようとせずにいた」で間違いないと思いますが、「彼は逃げようとしなかった」でも問題ないと思います。
ということは文脈次第かな。。

apologies for the incomplete answer 🙂

「Tammy」という名前も普通にありますが、お腹の「tummy」とは少し発音が違います。

名前→タァミ　catと同じ「アァ」（æ）の母音です。

お腹→タミ 短い「アッ」（tˈʌmi）になります。

ここで言うtoastは乾杯の意味のtoastです。

When ya toast, who ya drinkin’ forは乾杯する時、誰のために飲むか。
誰のためにというのは、誰を思う、誰の幸運を願う、誰のために頑張るなどの意味と私は解釈しています。

Rideは車でもありだが、ここはバイクに乗る時を指しているかな。乗る時に誰のために乗るのか。誰を思うのかなど、上記のような解釈もありです。

When you’re high, who ya flyin’ for はヤクでハイになった時、誰のためか。

When ya toast, who ya drinkin’ forは話し言葉で、ちゃんと書き出すと、When you toast, who are you drinking for? となります。areなどの動詞が略されています。

追加質問がありましたら気軽に聞いて下さい。

カナダ人です。

ハイフンやびっくりマークが付いているせいか、少しwhackyなジャパニーズな印象をもちました（日本の不思議な面白みがあるような）
ネガティヴでもポジティブでもなく、ニュートラルな印象です。真面目より、少しふざけた意味合いが含まれるのか、と思われるかもしれません。北米人がびっくりした時に「whoa!」というため、そのような意味合いに思われるかもしれません。

直感ですが、私見的にそう思いました。