１つ目のthatは同格もしくは補語の用法だと捉えて良いように感じます。
The amazing things…apologizing ＝it almost guarantees …bad feelingsが成り立ちます。
That を使うことでthat 以下の文章がthatより前の文章と同じであることを示します。
つまりSV is that S’ V’ です。is that が＝の役割を担っているとイメージすると分かりやすいかと思います。
補語の説明で行くならばSVC(C＝that S’V’)になります。

２つ目のthatはit … that 構文のthatです。
itが仮主語でthat以下を指します。

Who’s “someone”?
Who is “somebody”?
Someone somebody はどちらも文法上単数と捉えられるのでisを使って疑問文にします。

クオーテーションマークを使うと「その”誰か”って誰？」というニュアンスを強調できます。

As people go で”世間一般から言えば”
As things goで”現状では、今のところ”
などasとgoの間に何が来るかによって訳が変わります。

このgoは”行く”ではなく方向性示すもので
人々が向かう先では＝一般的には という変換がなされているように感じます。
日本語として一語で言うならばこのgoは”まかり通る”に近いニュアンスを感じます。

He has a big heart ではないでしょうか？
have a big heart はイディオムで寛容な、心が広いという意味があります。

planning to take part in 〜Windigo Riverまでは長いですが現在分詞、形容詞的用法が使われています。

ing +名詞(名詞＋ing)が「〜している〇〇」と訳されるあれです。
The girl crying in the park (公園で泣いている女の子)

その名詞にあたるものを選択する問題ですが
WhoやWhoeverの後には動詞が来ます。これらは名詞ではないので現在分詞とはセットにできません。

そこでanyone とsomeoneとなりますが文章の意味からみると「参加を考えている人は誰でもシルビアに知らせなければならない」となっています。このときsomeoneだと誰でものニュアンスが出てきません。someoneだと”その誰か1人”がシルビアに知らせなければならない、となってしまいます。

at leastは日本語だと不幸中の幸いといったニュアンスで使ったりすることもあります。
基本的にあまり良いことを話す時にat leastが使われることを聞いたことがないです。
「少なくともSVで良かった」のニュアンスで良く使っています。
becauseはat leastと必ずしもセットではないのですがこの場合は皮肉を意味するために補足説明としてつけられていると思います。

品詞は名詞・助動詞・動詞・形容詞・副詞・接続詞・前置詞・間投詞の8つを指します。

不定詞や疑問詞など詞はつきますが品詞ではありません。
ただ不定詞や疑問詞は形容詞的用法や名詞的用法など似た働きを持つことがあるのでまず品詞8つが持つ働きを理解し疑問詞や不定詞がどの品詞に似た働きをしているのかを分析することも英語学習において有効です。

疑問詞の名詞的用法
I know who he is.
who he isがknowの目的語(名詞の代わり)になっています。

regret to do で「残念ながら〜する」
I regret to say goodbye to you so soon.(こんなにはやく君にお別れを言うのは残念だ)

という意味あいが強いです。toかingをしたこと、やっていないことで判断する前に押さえておいて欲しい所です。

逆にregret ingは〜したことを後悔するとなります。

今回work harderしなかったことは過去のことですのでhaving worked(現在完了) が使われています。しなかったという事実はした、しないに関わらず過去の話になります。
“しなかったということを既にした”という観点から考えればingが使われることに納得いただけるでしょうか。

後に続く文章や文脈が分からないので推測になりますが…

少なくとも誰かが理解してくれて、良かったよな。ついていく私ですらまだ理解出来ないのだから。

という心の中での皮肉ではないでしょうか？
家族が理解を示してくれていることに少なからず嫉妬をしているようにも感じ取れたので

不可算名詞に形容詞がつくと名詞化される現象があります。不可算名詞の可算名詞化です。必ずしも全てに当てはまるわけではないので注意は必要ですが

例えばbreakfast は不可算名詞ですが
eralyがつくとan early breakfastとなります。

次に挙げるのがinterests が利益を表す場合ですね。
公共の利益、となっていますよね

公共の利益というのは多様で利益それ自体に種類が生まれます。(以下は種類を挙げた例だと思ってください)
1〇〇 2〇〇〇 3〇〇〇 とあった時例えinterest が不可算名詞だとしてもinterestsと数えます。イメージとしては1〜3を単純に数えるイメージです。
説明が難しいのですが利益という単語自体は数えられないのですが、利益が種類となった場合は数えられるのです。
わかりにくいと思うのでpeopleがpeoplesとなる場合を分かりやすくまとめたサイトを見つけたので貼り付けます。

単語は無限にありこれだけの細かなものを覚えるか、文章を読み見分けるのに慣れるかどちらかはお任せします。もし単語について研究されたいということでしたら「表現のための実践ロイヤル英文法」など色々な著書が取り扱っているのでお勧めしておきます。

これはおっしゃる通り不定詞の結果の副詞的用法が使われています。
I studied hard to be a doctor.
という例がありますが、一見医者になる為に真剣に勉強した、と訳したくなりますが
Studied hard の結果、 a doctorになったという意味でとります。つまり”真剣に勉強したので医者になった”となります。ここに原因と結果の関係が出てきます。

原因となる文 ＋ to 不定詞で「〜した結果、〜する」という訳になります。

他にも I retired from the military, never to have a gun.
never toの副詞的用法も有名です。
上の訳に当てはめて、”軍を引退したので二度と銃を持つことはなかった。”となります。

いくつかのサイトでrelieve の定義を調べてみましたが、relieveの中に取り除くの意味が出てきませんでした。relieveはreduce someone’s pain と定義がなっており、さらにreduce はmake something smaller or less in sizeとなっています。
Relieve は和らげるという訳になります。

取り除くというとremoveのことではないでしょうか？

英語辞書サイトのリンクを貼っておきます。
アメリカでよく使われているものです。

イギリス人、アメリカ人の友人数人に聞きましたが意見が分かれました。

どの国かは関係なく、どちらも使われているのを聞くとの事でした。さらに人によりどちらがフォーマルかカジュアルかも分かれました。

In spite of の後に来る語は名詞または名詞句であり通常のSVが続きません。Synonymとしてあげられるdespiteも同じです。

もしSVを続けたいならば名詞句を使う必要があります。
In spite of the fact that SVは構文でよく出てきます。

質問で挙げられているhow ですがhow を使うことで名詞句を作り文法上成り立たせています。

またhow の意味として”どのように”がありますので世界がどのように(どう)僕を見ようとも、となるわけです。

例文を挙げておきます

How I feel 私がどのように感じるか
How she treats her mother 彼女がどう母を扱うか

way の核となるイメージは
1 方法
2 道
(3強調)
だとイメージするとわかりやすいかなと思います。
私個人的なイメージなので必ずしも100パーセント正しいとは限らずこじつけもあるのでご了承ください。

例えば
I’m on my way(今向かっている)
という文章ですがどこかに向かう時に道や方角がイメージできますよね。

He’s born that way(彼は生まれつきそういう性格だ)
という文章では彼はその道に生まれた人だからしょうがないという日本語にもあるように人生の”道”という意味でのwayがイメージできます。

I study English in my way.( 私なりの方法で英語を勉強する)
という文章ではwayは方法です。

意外ですがwayは強調で使われることがあります。
way too much かなり多すぎる
by a long way はるかに、ずば抜けて
all the way はるばる、わざわざ

少しでもお役に立てれば幸いです。

Interest が関心か利子かの見分け方についてですが基本的には文脈で見るのが一番はやいと思います。

ただ利子となる場合は不可算名詞なのでinterestsとなることはありません。逆に関心の場合はinterestsとなるときもあります。
しかし上記以外the interestなどだと見分けがつきにくいのであまり役に立つかは分かりませんが…

regret to do で「残念ながら〜する」
I regret to say goodbye to you so soon.(こんなにはやく君にお別れを言うのは残念だ)

という意味あいが強いです。toかingをしたこと、やっていないことで判断する前に押さえておいて欲しい所です。

逆にregret ingは〜したことを後悔するとなります。

今回work harderしなかったことは過去のことですのでhaving worked(現在完了) が使われています。しなかったという事実はした、しないに関わらず過去の話になります。
“しなかったということを既にした”という観点から考えればingが使われることに納得いただけるでしょうか。

後に続く文章や文脈が分からないので推測になりますが…

少なくとも誰かが理解してくれて、良かったよな。ついていく私ですらまだ理解出来ないのだから。

という心の中での皮肉ではないでしょうか？
家族が理解を示してくれていることに少なからず嫉妬をしているようにも感じ取れたので

結論から言いますと日本語として自然な文章にしようとした結果プラス分詞構文の役割として「〜だとしても」があるからだと思います。

分詞構文には順接や理由、時を表す場合がありますが
この場合分詞leavingはthoughの役割を持ちます。つまり「〜だとしてもしなければならなかった」の訳になります。

the woman had to go out of town leaving her husband in charge of her plants
ですが
その女性は彼女の植物の世話を夫に任せることになったとしても町をでなければならなかった
となりますよね。

任せることになったとしても行かなければならなかった、とあるので重きを置かれるのは”植物の世話を任せること”になります。
したがって普段大事にしている植物を置いていかなければならなかったという部分を強調したいと考えられます。
それを汲み取ってgo out よりもleaving her husbandに重点を置かれたことからおっしゃるような訳文になっていると考えられます。

in which case SV=in that caseSV = その場合SV
というものが成り立ちますので仰る通りbut you won’t be able to register in that case.(in this case)と解釈なさってよろしいと思います。

これは関係詞節の非制限的用法であり成句です。もちろんbutから始めても意味は同じになります。in which caseが使われているのは表現する人の選択だと思います。