The purpose is to let people enjoy(細かいところは省略します)の to letは〇〇することと訳します。

I like to play the piano
私は「ピアノを弾くこと」が好きです
などで習ったことかと思います。

そしてlet ＋人＋動詞で「人に〜させる」という意味があります。
Let people enjoy で楽しませるという意味になります。

つまりthe purpose is to let people enjoy は
目的は人々を楽しませること、となります。

1 for byだと思います。
care for で連語で気にする、愛される、労わる、配慮するなどの意味があります。

そして受け身の文章ですので動作の主体にはbyをつけるのを忘れてはいけません。

前置詞が続くと不思議に感じるかもしれませんがよく引っ掛け問題として出題されます。

まだ出品した商品が残っているならば3500ドル送料込みで買いたいと言ってます。コメントがヤフオク上ではできないのでメールアドレス宛に商品の写真とともに送ってほしいとおっしゃってます。

All you have to do is (to) find out the clue.
あなたはしなければならないのは手がかりを見つけることだけだ
などの場合も考えられます。
例文全体がないと明言はできませんが…。

同じ文章に書き表すことはできると思います。
ただどこに重点を置くかによってもちろん文章は変わってきますが、人により差が出る程度のものです。

More than 2,000 people went to the concert.
2,000人以上の人がコンサートに行った。

I’ve been to Italy more than three times.
私はイタリアに三回以上行ったことがある。

などはどうでしょうか？

これは主語が省略されている文章です。
洋楽やカジュアルな文章で明らかに主語が特定される場合主語が省略されることがあります。

つまりこのgotは過去形です。
I got the fire in my heart が元の文章です。

There’s となっているから少し紛らわしいですが
これはthere has been が省略された形です。
つまりthere is (〜がある)の現在完了 継続です。

There is を現在完了形にする時、
there has ＋been(be動詞の過去分詞)となります。

あまりジムの方には詳しくないので
アメリカ人のトレーナーに聞いてみました。

Pumpは筋トレをしたあとに筋肉が肥大することを指すのでfocus on the tension on your muscle を代わりによく使うようです。お役に立てたら幸いです。

Viewは「考え方」にした方が日本語訳をした時にスムーズに捉えられると思います。
ただこの文章の意味を捉えるという意味ではどちらをとっても大差は無いのではないかと思います。
approach はおっしゃる通りのふた通りどちらも大丈夫だと思います。

これはおっしゃる通り不定詞の結果の副詞的用法が使われています。
I studied hard to be a doctor.
という例がありますが、一見医者になる為に真剣に勉強した、と訳したくなりますが
Studied hard の結果、 a doctorになったという意味でとります。つまり”真剣に勉強したので医者になった”となります。ここに原因と結果の関係が出てきます。

原因となる文 ＋ to 不定詞で「〜した結果、〜する」という訳になります。

他にも I retired from the military, never to have a gun.
never toの副詞的用法も有名です。
上の訳に当てはめて、”軍を引退したので二度と銃を持つことはなかった。”となります。

いくつかのサイトでrelieve の定義を調べてみましたが、relieveの中に取り除くの意味が出てきませんでした。relieveはreduce someone’s pain と定義がなっており、さらにreduce はmake something smaller or less in sizeとなっています。
Relieve は和らげるという訳になります。

取り除くというとremoveのことではないでしょうか？

英語辞書サイトのリンクを貼っておきます。
アメリカでよく使われているものです。

イギリス人、アメリカ人の友人数人に聞きましたが意見が分かれました。

どの国かは関係なく、どちらも使われているのを聞くとの事でした。さらに人によりどちらがフォーマルかカジュアルかも分かれました。

In spite of の後に来る語は名詞または名詞句であり通常のSVが続きません。Synonymとしてあげられるdespiteも同じです。

もしSVを続けたいならば名詞句を使う必要があります。
In spite of the fact that SVは構文でよく出てきます。

質問で挙げられているhow ですがhow を使うことで名詞句を作り文法上成り立たせています。

またhow の意味として”どのように”がありますので世界がどのように(どう)僕を見ようとも、となるわけです。

例文を挙げておきます

How I feel 私がどのように感じるか
How she treats her mother 彼女がどう母を扱うか

way の核となるイメージは
1 方法
2 道
(3強調)
だとイメージするとわかりやすいかなと思います。
私個人的なイメージなので必ずしも100パーセント正しいとは限らずこじつけもあるのでご了承ください。

例えば
I’m on my way(今向かっている)
という文章ですがどこかに向かう時に道や方角がイメージできますよね。

He’s born that way(彼は生まれつきそういう性格だ)
という文章では彼はその道に生まれた人だからしょうがないという日本語にもあるように人生の”道”という意味でのwayがイメージできます。

I study English in my way.( 私なりの方法で英語を勉強する)
という文章ではwayは方法です。

意外ですがwayは強調で使われることがあります。
way too much かなり多すぎる
by a long way はるかに、ずば抜けて
all the way はるばる、わざわざ

少しでもお役に立てれば幸いです。

Interest が関心か利子かの見分け方についてですが基本的には文脈で見るのが一番はやいと思います。

ただ利子となる場合は不可算名詞なのでinterestsとなることはありません。逆に関心の場合はinterestsとなるときもあります。
しかし上記以外the interestなどだと見分けがつきにくいのであまり役に立つかは分かりませんが…

regret to do で「残念ながら〜する」
I regret to say goodbye to you so soon.(こんなにはやく君にお別れを言うのは残念だ)

という意味あいが強いです。toかingをしたこと、やっていないことで判断する前に押さえておいて欲しい所です。

逆にregret ingは〜したことを後悔するとなります。

今回work harderしなかったことは過去のことですのでhaving worked(現在完了) が使われています。しなかったという事実はした、しないに関わらず過去の話になります。
“しなかったということを既にした”という観点から考えればingが使われることに納得いただけるでしょうか。

後に続く文章や文脈が分からないので推測になりますが…

少なくとも誰かが理解してくれて、良かったよな。ついていく私ですらまだ理解出来ないのだから。

という心の中での皮肉ではないでしょうか？
家族が理解を示してくれていることに少なからず嫉妬をしているようにも感じ取れたので

結論から言いますと日本語として自然な文章にしようとした結果プラス分詞構文の役割として「〜だとしても」があるからだと思います。

分詞構文には順接や理由、時を表す場合がありますが
この場合分詞leavingはthoughの役割を持ちます。つまり「〜だとしてもしなければならなかった」の訳になります。

the woman had to go out of town leaving her husband in charge of her plants
ですが
その女性は彼女の植物の世話を夫に任せることになったとしても町をでなければならなかった
となりますよね。

任せることになったとしても行かなければならなかった、とあるので重きを置かれるのは”植物の世話を任せること”になります。
したがって普段大事にしている植物を置いていかなければならなかったという部分を強調したいと考えられます。
それを汲み取ってgo out よりもleaving her husbandに重点を置かれたことからおっしゃるような訳文になっていると考えられます。

in which case SV=in that caseSV = その場合SV
というものが成り立ちますので仰る通りbut you won’t be able to register in that case.(in this case)と解釈なさってよろしいと思います。

これは関係詞節の非制限的用法であり成句です。もちろんbutから始めても意味は同じになります。in which caseが使われているのは表現する人の選択だと思います。