日本語と英語で大きな違いがあるのは英語では無生物主語がよくつかわれるということです。

例えば
the movie made her cry(映画が彼女を泣かせた)
という文ですが映画という物が彼女を直接泣かせるわけではないですよね。日本語ではそのようには言いません。これは映画を観ることで彼女は泣いたということ、訳にすると「彼女は映画を観て泣いた」となります。

このように英語では無生物主語が動作を伴う場合が多く日本語では不自然と感じることが多いです。
さらに無生物主語によく伴われる動詞として挙げられるのがsay, tell, show, makeなどです。

このemail saying も無生物主語が使われているため自動詞のsayが不自然ながらも使われます。
Email がsayしたのではなく、「emailを読んで知った」と理解する必要があります。

以下の例を参考にしてください。
The news says it’s going to rain in the afternoon (ニュースによると午後から雨のようだ)
The map shows we are in the middle of the city(地図によると私たちは市の真ん中にいる)

違和感はあるかもしれませんが英語特有のものです。

ちなみにsaid だと文がなりたちません。
I received an email /said that Jasmine had succeeded

receivedとsaidが２つとも動詞としてあると文が分断されてしまいます。 １つの文に基本的に動詞は１つです。
これらを分断させないためsayを現在分詞として変形させています。
参考＊現在分詞 名詞+ing 「〜する〇〇」

前提として
Prepare forで〜の準備をする
とあるのでthe coming trip to the USを見ていきます。
この訳は「直近のアメリカ旅行」「もうすぐ行くアメリカ旅行」といった訳があてられます。

the coming trip のcoming は現在分詞で
「ing形+名詞」で「〜している〇〇」という形を取ります。つまり直訳すると「(こちらに)来ている旅行」=「(日付が)近づいている旅行」=「もうすぐ行く」となります。

現在分詞の例としていくつか挙げておきます。
The crying girl was my sister (泣いている女の子は私の妹だった)
The water leaking from the bathroom (バスルームから漏れている水)

最後にtrip to 場所で「〜への旅行」です。
お役に立てたら嬉しいです。

Be worth -ingのworthの品詞は形容詞です。

ただ it has $15,000 worth (15,000ドルの価値がある)
や the current worth of the company(現在の会社の価値)などに使われるときは品詞は名詞です。

これはあなたが宿題を終えるのは未来に起こることなので未来を表さなければなりません。しかしas soon as you will doではおかしいですよね。
他の文章ではしっくりくるかもしれませんがas soon asのあとにwillを使うのは英語のルールではできません。
さらにもしplease tell me as soon as you do your homeworkだとあなたが宿題をやるならすぐに教えてくださいとなり、”終わったら”というニュアンスが出てきません。

これらのジレンマを解消するためにas soon as の条件が未来形になるときはwillや現在形を使う代わりに現在完了を使います。

まとめると未来の条件は現在完了を使うと覚えていただきたいです。とはいえfinish を使えばそれで終わりなのではありますが。

アメリカ英語ではよくtが発音されなかったりtheをザではなくダに近い発音をする傾向があったりと英語にも癖があります。waterをワダーと発音しないと伝わらないという話もきいたことがあるかと思います。
そして彼らもまた単語を繋げて短くする事が多いです。

should’veと略すことができることからもわかるように訳すことがたしかに多いかもしれませんね。ネイティブの友人も確かにシュダに近い発音をしています。気づかずに言っている人も多いとは思いますがshould have と分けて発音する人もいるので言っているつもりで言えない訳ではないと思います。癖がついているのは確かです。

in which case SV=in that caseSV = その場合SV
というものが成り立ちますので仰る通りbut you won’t be able to register in that case.(in this case)と解釈なさってよろしいと思います。

これは関係詞節の非制限的用法であり成句です。もちろんbutから始めても意味は同じになります。in which caseが使われているのは表現する人の選択だと思います。

結論から言いますと日本語として自然な文章にしようとした結果プラス分詞構文の役割として「〜だとしても」があるからだと思います。

分詞構文には順接や理由、時を表す場合がありますが
この場合分詞leavingはthoughの役割を持ちます。つまり「〜だとしてもしなければならなかった」の訳になります。

the woman had to go out of town leaving her husband in charge of her plants
ですが
その女性は彼女の植物の世話を夫に任せることになったとしても町をでなければならなかった
となりますよね。

任せることになったとしても行かなければならなかった、とあるので重きを置かれるのは”植物の世話を任せること”になります。
したがって普段大事にしている植物を置いていかなければならなかったという部分を強調したいと考えられます。
それを汲み取ってgo out よりもleaving her husbandに重点を置かれたことからおっしゃるような訳文になっていると考えられます。

a とtheの違いとして
aは特定されないもの、つまり他にもあるもの
theは特定されるもの、つまり他にはないもの
があります。

補足で例文を載せます。
I see a bird(私は鳥を見た) このときの鳥はどんな鳥でもよく、”鳥であること”の条件を満たせば良いです。

I see the bird(私はその鳥を見た)
このときは特定の限られた鳥を見たことを指します。

the shampoo がもしa shampooだとしたら(数あるシャンプーの中のどれでもいいから１つの)シャンプーと(数あるコンディショナーの中から無作為に選んだ１つの)コンディショナーを取り違えた。となります。
そこに置いてあるシャンプーとコンディショナーを取り違えたというよりも、商品棚に沢山置いてある中でシャンプーとコンディショナーを取り間違えたというニュアンスがでてきます。

ただしくはShe told me that her secret was a lie.です。

a とthe の違いの１つとして
the を使った場合、話し手と聞き手の両方がその話しているものを認識している状態が示されます。
また他にもtheは話の流れで前に一度出てきたものにつきます。

つまりthe soldier とした場合そのsoldierがこの文章の前に出てきている(soldierについての記述が既にこの文章より前にされている)、もしくは何人かsoldier がいる中でその内の一人を認識していることになります。

この文章で焦点を当てられているのはHeでありsoldierについては前述されていませんし、沢山あるうちの一人という認識もないのでaとなります。

これはおっしゃる通り不定詞の結果の副詞的用法が使われています。
I studied hard to be a doctor.
という例がありますが、一見医者になる為に真剣に勉強した、と訳したくなりますが
Studied hard の結果、 a doctorになったという意味でとります。つまり”真剣に勉強したので医者になった”となります。ここに原因と結果の関係が出てきます。

原因となる文 ＋ to 不定詞で「〜した結果、〜する」という訳になります。

他にも I retired from the military, never to have a gun.
never toの副詞的用法も有名です。
上の訳に当てはめて、”軍を引退したので二度と銃を持つことはなかった。”となります。

いくつかのサイトでrelieve の定義を調べてみましたが、relieveの中に取り除くの意味が出てきませんでした。relieveはreduce someone’s pain と定義がなっており、さらにreduce はmake something smaller or less in sizeとなっています。
Relieve は和らげるという訳になります。

取り除くというとremoveのことではないでしょうか？

英語辞書サイトのリンクを貼っておきます。
アメリカでよく使われているものです。

イギリス人、アメリカ人の友人数人に聞きましたが意見が分かれました。

どの国かは関係なく、どちらも使われているのを聞くとの事でした。さらに人によりどちらがフォーマルかカジュアルかも分かれました。

In spite of の後に来る語は名詞または名詞句であり通常のSVが続きません。Synonymとしてあげられるdespiteも同じです。

もしSVを続けたいならば名詞句を使う必要があります。
In spite of the fact that SVは構文でよく出てきます。

質問で挙げられているhow ですがhow を使うことで名詞句を作り文法上成り立たせています。

またhow の意味として”どのように”がありますので世界がどのように(どう)僕を見ようとも、となるわけです。

例文を挙げておきます

How I feel 私がどのように感じるか
How she treats her mother 彼女がどう母を扱うか

way の核となるイメージは
1 方法
2 道
(3強調)
だとイメージするとわかりやすいかなと思います。
私個人的なイメージなので必ずしも100パーセント正しいとは限らずこじつけもあるのでご了承ください。

例えば
I’m on my way(今向かっている)
という文章ですがどこかに向かう時に道や方角がイメージできますよね。

He’s born that way(彼は生まれつきそういう性格だ)
という文章では彼はその道に生まれた人だからしょうがないという日本語にもあるように人生の”道”という意味でのwayがイメージできます。

I study English in my way.( 私なりの方法で英語を勉強する)
という文章ではwayは方法です。

意外ですがwayは強調で使われることがあります。
way too much かなり多すぎる
by a long way はるかに、ずば抜けて
all the way はるばる、わざわざ

少しでもお役に立てれば幸いです。

Interest が関心か利子かの見分け方についてですが基本的には文脈で見るのが一番はやいと思います。

ただ利子となる場合は不可算名詞なのでinterestsとなることはありません。逆に関心の場合はinterestsとなるときもあります。
しかし上記以外the interestなどだと見分けがつきにくいのであまり役に立つかは分かりませんが…

regret to do で「残念ながら〜する」
I regret to say goodbye to you so soon.(こんなにはやく君にお別れを言うのは残念だ)

という意味あいが強いです。toかingをしたこと、やっていないことで判断する前に押さえておいて欲しい所です。

逆にregret ingは〜したことを後悔するとなります。

今回work harderしなかったことは過去のことですのでhaving worked(現在完了) が使われています。しなかったという事実はした、しないに関わらず過去の話になります。
“しなかったということを既にした”という観点から考えればingが使われることに納得いただけるでしょうか。

後に続く文章や文脈が分からないので推測になりますが…

少なくとも誰かが理解してくれて、良かったよな。ついていく私ですらまだ理解出来ないのだから。

という心の中での皮肉ではないでしょうか？
家族が理解を示してくれていることに少なからず嫉妬をしているようにも感じ取れたので

結論から言いますと日本語として自然な文章にしようとした結果プラス分詞構文の役割として「〜だとしても」があるからだと思います。

分詞構文には順接や理由、時を表す場合がありますが
この場合分詞leavingはthoughの役割を持ちます。つまり「〜だとしてもしなければならなかった」の訳になります。

the woman had to go out of town leaving her husband in charge of her plants
ですが
その女性は彼女の植物の世話を夫に任せることになったとしても町をでなければならなかった
となりますよね。

任せることになったとしても行かなければならなかった、とあるので重きを置かれるのは”植物の世話を任せること”になります。
したがって普段大事にしている植物を置いていかなければならなかったという部分を強調したいと考えられます。
それを汲み取ってgo out よりもleaving her husbandに重点を置かれたことからおっしゃるような訳文になっていると考えられます。

in which case SV=in that caseSV = その場合SV
というものが成り立ちますので仰る通りbut you won’t be able to register in that case.(in this case)と解釈なさってよろしいと思います。

これは関係詞節の非制限的用法であり成句です。もちろんbutから始めても意味は同じになります。in which caseが使われているのは表現する人の選択だと思います。