As far as spoken English, sounds good to me.
問題ないと思います。

スラングです。動画編集等をほめてくれています。
「すげ〜動画編集•撮り方だなぁ」

just the は無視していいと思います。I can’t believe the explosiveness →強烈さを信じられない
just theによりexplosiveness が強調されます。
すごい強烈さを信じられない

同じ使い方ができると思います。例えばgive a tip on how to increase your income/ give a tip for how to increase your income

Give a tip for はどちらかと言うと、ヒントの方のtipでなくて、チップの方のtipに使われることが多い気がします。

目の前の机にごちゃごちゃしたたくさんの手紙がある中で「彼の手紙はこれだよ」と言うときにはhis letters of theseとは言わないのでしょうか？ → 言わないです。

His letters of these は「彼のtheseの何かの手紙」の意味になります

基本的に同じと思います。

違いとしては;

文脈によりますが、例えばある特定のrainの話の場合(例:あのときの大雨)はthe rainを使います。

after it rains は将来の話ですが、after the rain は過去でも将来でも可です。

など

It takes time→時間がかかる。
It took a week→一週間がかかった

takeは時間がかかる文に使われます。

Boutは単にボクシングや格闘技等の類のスポーツの試合に使われる単語です。辞書をみると、a short period of intense activity of a specified kind と記載されており、確かに格闘技は激しく短い感じがします。

The picture that he took was beautiful→彼が撮った写真は美しかった
thatの後の動詞はtookのみと思います。take/took→撮る

「目の前、生で」という意味です。
ご参考にアルクのリンクを貼っておきます。

完璧です。問題なく伝わると思います。

It never hurts/ It doesn’t hurt等：～する損はない/～悪いことはない
Junさんの英訳問題ないと思います。

heとthatの順番が間違ってます。I also hope that he makes a lot of mistakes so that he will overcome the fear of failure.が正しいです。

普通なら、”what do you recommend?”は「おすすめは何ですか」という意味になります。

今回の場合は、what do you recommend I do? （どうしてほしいの？）のつもりと思います。

ネットを見て、他でこの商品を$5260, $5195, $4995, $5330で売っているようですと。

こちらの売値は $4795 ですよと。どうしてほしいの？（これで更に安くしてほしいの？）

あまりポジティヴな返答ではありません。（この中だったらうちが１番安いでしょ？のような意味です）

そちらのご理解の通り、「しなかった」と「できなかった」の違いです。正しい回答ができなかったという意味ではdid not/could notであまり違いがないと思います。どちらの言い方も自然でさほどニュアンスは変わりません。
文脈によって、「she did not guess」は、回答すらしなかった意味にはなりますが。

中古品でも、New Arrivalsで全く問題ないと思います。

I always feel like moving my body on weekends.でも全く問題ありません。On weekendsとon the weekendの違いがかなり微妙で、意味はあまり変わらないと思います。使い方によって、on the weekendは特定の週末を示すが→例：I’m going to the gym on the weekend.（今週末はジムいく）。
I always 000 on weekends/on the weekendのような使い方であれば、意味は変わらないと思います。

冗談っぽく、わざと間違ってpopularerと言うことはなくはないと思いますが、通常ならありません。
more popular/most popularが正しいです。

可算と不可算両方の性質をもつ名詞は存在します（例：hair, chicken, iron, etc.）。
acidityとtanninもそうです。

Acidityは基本不可算として使われると思いますが、細かいacidityの種類の話になると、aciditiesというでしょう。

リンク先の辞典では、tanninが「noun countable/uncountable」と記載しています。多くの辞典はuncountable だけと記載するかもしれませんが。

「They believed proved that her hair was dyed brown」だけなら、文章として間違っています。They believedかprovedのどれか一つにしないとダメです。

ググったら、以下の文章があったのですが、これであればOKです。
But school staff who inspected her hair said she had black roots, which they believed proved that her hair was dyed brown.
which they believed proved⇒彼らがそれが証明すると確信していた
他の簡単な例で示すと：This they believed proved her innocence. （これが彼女の無罪である証拠となったと確信した）

This they thought proved her innocence のような、think（と思う）と同じ使い方です。