Yetやbutは等位接続詞でこの形はよく見られます。
He ate not only apples but also oranges.
必ずしもSVが続くとは限らないのです。

Serves inexpensive (meals) but/yet delicious meals
このmealsが省略されていますがmeal同士を比較していることが分かると思います。こういった場合に等位接続詞は使われます。

もしServes inexpensive despite delicious mealsとしてしまうとdespiteで文が途切れるのでserves inexpensive で文が終わってしまいます。(構造上)
Inexpensive what？ となってしまう訳です。
日本語訳だけで考えると成り立つ気がしますがこのserveは自動詞なので目的語が必要です。despiteだと目的語がなくなってしまいます。

そういった点からも等位接続詞を選択するのが正解です。

I come back here every long vacation like spring break and summer vacation.
ではどうでしょうか？
Vacation の代わりにholidayでも良いと思います。

Please show me othersならば成り立ちますが、
smallerなどの形容詞のあとにothersは置くことができません。 Please show me other smaller ones なら言うことができます。

またsome とotherを図解すると↓

some〇〇〇〇/ other〇〇〇/other〇〇〇〇

複数あるうちの何個かを選んでsomeと呼び、その残りから更にランダムに複数ぶとotherと呼ばれます。この関係性からSome とothers は似ているのが分かるかと思いますが smaller some ones が駄目でsome smaller ones が成り立つのは分かると思います。こちらも参加になさってください。

斜体字で表されるのを見たことがあります。
括弧や特別な動詞でここから心の中ですよ、とは言わず斜体字で書き表されていました。

難しくいうと自由間接話法ですがリンクを貼っておくのでよろしかったら論文を読んでみてください。

hardly のみだと程度または回数の両方を表します。
つまりshe hardly speaks English は

➀彼女は英語を(日常的に)ほとんど話さない。
➁彼女は英語をほとんど話すことができない。
という２つの解釈ができます。

hardly ever は頻度(回数)を表すので
She hardly ever speaks English
だと➀になります。

逆にhardly anyは程度を表すので
②になります。

使い方によって解釈が分かれるためわかりやすく今回hardly anyを用いているのだと思います。

質問者様の言おうとしていた文を直すと
Jenny asked him to find out if Luna talked about her behind her back (or spoke ill of her)
ifを使うことで〜かどうかという意味を付与できます。つまり訳すとジェニーは彼にルナがジェニーについて悪口を言ったかどうか尋ねた。です。
Speak ill of もしくはtalk about someone behind one’s backで陰口を言うです。

疑問文が後ろに着くかとの話ですが、できます。
その場合Jenny asked him, “did Luna speak ill of me?”
ただこの場合彼に直接尋ねているので質問者様の言いたい表現とは少し異なるかもしれません。

ask 人 to do は命令文やお願いの時に使います
He said “please do it again”
言い換えると he asked me to do it again.
My mom said “you should see a doctor.”
言い換えるとmy mom told me to see a doctor.

分詞が修飾するのは意味上の主語となるものという認識は正しいです。
ではなぜこれがing形をとり修飾しているのかという話ですが実はこれは分詞ではなく動名詞です。

Time ing で〜する時間という訳です。
これはよく使われる表現でもともとはtime in ingの形をとっていたのですがinが省略されるようになりました。

まずa とtheの違いをまとめると「既出のもの」「共通認識のあるもの、または会話の中で１つに絞られるもの」にtheが付きます。

この場合熊本城のキッチンについての話題はキッチンという単語が出るまで触れられておらず既出とはなりません。また熊本城のキッチンは他県民や外国人にとって馴染みのあるものではなく共通認識をもつとは考えにくいです。
よってaの方がしっくりときます。

他にもThere are 5 rooms, a kitchen, a living room, and 3 bedrooms. このように並べてあるときのaは個数を示すときもあります。

aとtheは難しいですが沢山の文章を読んだり色々な人の会話文をきいたりして感覚的に覚えられるようになると学習が楽になります。

the catalog になるときはカタログについての話が前述されているときです。今回カタログの内容については触れられていますが、カタログの存在については触れられていません。

またthe catalogにした場合、”沢山あるカタログのうちの特定の一冊”という意味になります。
会社のカタログは印刷物なので何冊もあるものです。そのうちのどれでもいいから一冊を送りますよ、という意味なのでaが適当になります。

twice /as long as
2倍×同様の長さと考えられてはいかがでしょうか。
as long as で同じ長さということを示した上でtwice やthree times がくるとその示された長さが2倍、3倍となるといったような。
文章にすると分かりにくいですね。
twice as long as で「同様の長さの二倍」、つまり「二倍の長さ」となります。
構文なので覚えるしかないといったらそれまでですが…。

他にもSV twice longer than S’(SはS’の二倍の長さだ)もあるのでセットで覚えておくと役立ちます。

これはおっしゃる通り不定詞の結果の副詞的用法が使われています。
I studied hard to be a doctor.
という例がありますが、一見医者になる為に真剣に勉強した、と訳したくなりますが
Studied hard の結果、 a doctorになったという意味でとります。つまり”真剣に勉強したので医者になった”となります。ここに原因と結果の関係が出てきます。

原因となる文 ＋ to 不定詞で「〜した結果、〜する」という訳になります。

他にも I retired from the military, never to have a gun.
never toの副詞的用法も有名です。
上の訳に当てはめて、”軍を引退したので二度と銃を持つことはなかった。”となります。

いくつかのサイトでrelieve の定義を調べてみましたが、relieveの中に取り除くの意味が出てきませんでした。relieveはreduce someone’s pain と定義がなっており、さらにreduce はmake something smaller or less in sizeとなっています。
Relieve は和らげるという訳になります。

取り除くというとremoveのことではないでしょうか？

英語辞書サイトのリンクを貼っておきます。
アメリカでよく使われているものです。

イギリス人、アメリカ人の友人数人に聞きましたが意見が分かれました。

どの国かは関係なく、どちらも使われているのを聞くとの事でした。さらに人によりどちらがフォーマルかカジュアルかも分かれました。

In spite of の後に来る語は名詞または名詞句であり通常のSVが続きません。Synonymとしてあげられるdespiteも同じです。

もしSVを続けたいならば名詞句を使う必要があります。
In spite of the fact that SVは構文でよく出てきます。

質問で挙げられているhow ですがhow を使うことで名詞句を作り文法上成り立たせています。

またhow の意味として”どのように”がありますので世界がどのように(どう)僕を見ようとも、となるわけです。

例文を挙げておきます

How I feel 私がどのように感じるか
How she treats her mother 彼女がどう母を扱うか

way の核となるイメージは
1 方法
2 道
(3強調)
だとイメージするとわかりやすいかなと思います。
私個人的なイメージなので必ずしも100パーセント正しいとは限らずこじつけもあるのでご了承ください。

例えば
I’m on my way(今向かっている)
という文章ですがどこかに向かう時に道や方角がイメージできますよね。

He’s born that way(彼は生まれつきそういう性格だ)
という文章では彼はその道に生まれた人だからしょうがないという日本語にもあるように人生の”道”という意味でのwayがイメージできます。

I study English in my way.( 私なりの方法で英語を勉強する)
という文章ではwayは方法です。

意外ですがwayは強調で使われることがあります。
way too much かなり多すぎる
by a long way はるかに、ずば抜けて
all the way はるばる、わざわざ

少しでもお役に立てれば幸いです。

Interest が関心か利子かの見分け方についてですが基本的には文脈で見るのが一番はやいと思います。

ただ利子となる場合は不可算名詞なのでinterestsとなることはありません。逆に関心の場合はinterestsとなるときもあります。
しかし上記以外the interestなどだと見分けがつきにくいのであまり役に立つかは分かりませんが…

regret to do で「残念ながら〜する」
I regret to say goodbye to you so soon.(こんなにはやく君にお別れを言うのは残念だ)

という意味あいが強いです。toかingをしたこと、やっていないことで判断する前に押さえておいて欲しい所です。

逆にregret ingは〜したことを後悔するとなります。

今回work harderしなかったことは過去のことですのでhaving worked(現在完了) が使われています。しなかったという事実はした、しないに関わらず過去の話になります。
“しなかったということを既にした”という観点から考えればingが使われることに納得いただけるでしょうか。

後に続く文章や文脈が分からないので推測になりますが…

少なくとも誰かが理解してくれて、良かったよな。ついていく私ですらまだ理解出来ないのだから。

という心の中での皮肉ではないでしょうか？
家族が理解を示してくれていることに少なからず嫉妬をしているようにも感じ取れたので

結論から言いますと日本語として自然な文章にしようとした結果プラス分詞構文の役割として「〜だとしても」があるからだと思います。

分詞構文には順接や理由、時を表す場合がありますが
この場合分詞leavingはthoughの役割を持ちます。つまり「〜だとしてもしなければならなかった」の訳になります。

the woman had to go out of town leaving her husband in charge of her plants
ですが
その女性は彼女の植物の世話を夫に任せることになったとしても町をでなければならなかった
となりますよね。

任せることになったとしても行かなければならなかった、とあるので重きを置かれるのは”植物の世話を任せること”になります。
したがって普段大事にしている植物を置いていかなければならなかったという部分を強調したいと考えられます。
それを汲み取ってgo out よりもleaving her husbandに重点を置かれたことからおっしゃるような訳文になっていると考えられます。

in which case SV=in that caseSV = その場合SV
というものが成り立ちますので仰る通りbut you won’t be able to register in that case.(in this case)と解釈なさってよろしいと思います。

これは関係詞節の非制限的用法であり成句です。もちろんbutから始めても意味は同じになります。in which caseが使われているのは表現する人の選択だと思います。