こんにちは。

ひとまず、「それが迷惑でしょう」を訳すなら、

“That’s what bothers.”

ですかね…。「それこそが」っていう言い回しは、”that’s what なんちゃら”なので、覚えると便利というか、会話が成り立ちやすいです。。

例えば、

– That’s what I said. (= I’ve already told you that.)
– That’s what means. （そういうことだよ。）
– That’s exactaly what I was looking for.（あ～！それ探してたやつ！）

ただ、”That’s bothering.”とは言わないかなぁ、、というところですかね…。
質問者さんの文章をきちんと読み解けていなかったすみません。

というのも、botherは動詞なので、botheringを使うとすれば、

例：仕事場で
John: Hey, did you see Jasmine?
Mary: Well, she’s stuck in the warehouse to deal with XXX company’s dead stock.
John: Still?! It’s been 3 hours since she’s gone.
Mary: Yep, (it) Seems that’s still bothering her.
*that(=dealing with XXX company’s dead stock)

のように進行形ならありますけど、質問者さんのいうように、
今自分忙しくて彼に頼もうとも思うんだけど、いや～「迷惑だよ。」だとするなら、

例：
①
A: Well, I thiknk that’s gonna bother him/her.
B: No, it’s not. Just ask him/her.
②
A: Well,I don’t wanna bother him/her.
B: Don’t hesitate. He/She’ll be welcome to help.
③
A: I’m worrying about if that would bother him/her.
B: I don’t think so. Do you want me to ask him/her?

などが自然でしょうか。
①も③も日本人的（迷惑をかけたら申し訳ないと気にする気持ちを持ってること）な会話ですけども。
私であれば、主に②を使いますね。
というのも、bother は通常否定or疑問とセットで使われる単語なので。

といういうことで、

そもそも質問者さんが、
＞「大丈夫。あの人は喜んでやってくれるよ」とか「世話させればいいよ」などと言われた時
に、「それが迷惑でしょう」と質問者さんが相手におっしゃる文脈がいまいちわからなかったというところがあるのでほしかった答えではないかもしれないですが、参考までに。