意味的な違いはないと思います。
使い方の違いですと、例えば、
友達を紹介するとき、
This is my friend, Lisa.
This is Lisa, a friend of mine.
とmy friendは名前の前に来て、a friend of mineは名前の後に来る。
あと、他に微妙なニュアンスの違いで、
My friend Lisa likes cakes.
A friend of mine likes cakes.
my friend を使った場合、特定の人を指すことができ”その人が”つまり誰がというのがはっきりしている感じだが、a frined of mine だと誰がということに重要性を置いていない感じがする。
違いはそれくらいだと思います。
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good