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「Say hello to someone」と「Give my regards to someone」のどちらも「よろしくお伝えください」と同じ意味になります。違いは下記に纏めました：
Say hello to somebody →フレンドリーな言い方です。和訳するとしたら「よろしくお伝えくださいね・よろしく言っといてね」が適切と思います。
Say hi to someoneやsay heyなど、類似表現はありますが、say hello to someoneは最も多く使われる表現です。
Give my regards to someone→丁寧な言い方です（目上の人など、ビジネスメールで使うような言い方）それとなんとなくですが、イギリス英語に聞こえます（英国紳士が言ってそう）。和訳するとしたら「よろしくお伝えください・どうぞよろしくお伝えくださいませ」などが適切と思います。
ご参考に例文を考えました：
Say hello to Jim for me. （ジムによろしく伝えてね。）
Please give my kind regards to Mr. Johnson. （ジョンソンさんにどうぞよろしくお伝え下さい。）