> specific behaviors（that）were associated with pain. のthatが省略されているという理解であっていますか？

こちらに答えると、否ですね～。
そもそも理解が違っていて、理由は以下です。

①まず、文の構造は下記の通り、ask about 1) & 2)。

You really have to listen to the owners
to ask them not just about
1) whether they think their cats are in pain,
2) but to ask about specific behaviors that their owners may not have thought were associated with pain.

②で、読みやすく文章を手直しすると↓になります。
1) whether they think their cats are in pain
2) but (also) specific behaviors that their owners may not have thought were associated with pain.
※but以下の(to ask about)は間違ってはいないですけども、余分ではあるのでカット。
※”,”もです。

さらに、言うと、
1) whether they think their cats are in pain
but (also)
2) whether specific behaviors that their owners may not have thought were associated with pain.

こうすると何が書かれてるか、少し明瞭になってきたと思いますが、
to ask them about
1) whether S + V = whether they think their cats are in pain
but (also)
2) whether S + V = whether specific behaviors were associated with pain

なので、that their owners…はspecific behaviorsが何かを具体的に説明している関係詞節なだけで、
骨格は、specific behaviors が pain と associated しているかどうか。という文。

そうすると、that はカットされているというか元々無いものであり、were がなぜ残っているのか？という話にはならないな！
と質問者さんも理解できると思います。

ということで、推敲後の全文は以下。
You really have to listen to the owners to ask them not just about whether they think their cats are in pain but (also) whether specific behaviors that their owners may not have thought were associated with pain.

p.s.
ちなみにこの文章はどこから持ってきたものなのかリソースがあれば、教えてもらえたら嬉しいです。
というのも、少し読みずらくて違和感のある文章だったので、英語圏からなら私の勉強不足なんだなと気になったもので…。