He just comes on a random day during the event.が厳密に言うと正解で、好まれる言い方だと思います。
名詞句(名詞の固まり)が副詞表現として使われる例もありますので、許容される範囲内かもしれません。
例
– another day
We will try another day. (また別日に挑戦します)
– the other day
I met him the other day. (先日、彼に会った）
– one of these days
I will buy that one of these days. (近日中にそれ買います）
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good