文脈が読めないので憶測ですが、まずit is〜 thatの形から強調構文と考えられます。that節内のplays「演じる」という意味の動詞で、抜けた主語はit isの直後にあるthis fraction of true leisure…ですから強調前の文は、This tiny fraction of true leisure time plays what some would argue is the most important role in defining us as unique individuals.
と考えられます。そしてthis fractionがなにをplayするかといえばwhat some would argue is…をplayするわけです。動詞の目的語ですのでこの部分は名詞です。次はここをを見ていきます。
さて今度はwhat some would argue isについて、playの目的語となる「名詞」ですのでwhatは関係代名詞でしょう。そう考えてwhat節内を見るとsome would argue とあって、ここも先ほどと同じように明らかにargueの目的語が抜け落ちています。ですからものと文はsome would argue [what]ですから、what some would argue は、 「some が would argue するなにか」という名詞句になります。文脈がわからないので訳を定めづらいですが、訳すとしたら「一部の人が主張してやまないこと(何か)」ですかね。
この「何か」というのは、さっき見た通り「演じる」と言う意味のplayの目的語ですから、その正体については「役割」か「役」くらいに絞られるでしょう。
そこで今度は仮にthe roleが関係代名詞whatに変化したと考えて、argueの後の目的語が抜けているところに戻してあげます。すると、
some would argue ‘the role’ is the most important role in defining us as unique individuals.
となり、the role は the most important role in defining us as unique individuals　であると some によってargueされていることとよめますね。
in doing は「〜している際に、〜するうえで」という意味ですから、
some would argue is the most important role in defining us as unique individualsは、
「一部の人は the roleが私たちをユニークな個人として定義する上で最も重要な役割だと主張してやまない。」
という意味になって、
what some would argue is the most important role in defining us as unique individuals は、
「一部の人が私たちをユニークな個人として定義する上で最も重要なものだと主張してやまない役割」
という漢字の名詞句になりました。
ここで今までのことをまとめると、この文は
This tiny fraction of true leisure time plays ‘the role’.
という文と
Some would argue ‘the role’ is the most important role in defining us as unique individuals.
という文の2つが’the role’を介して関係代名詞whatで一つにまとめられた文である、
This tiny fraction of rule leisure time plays ‘the role’ what some would argue is the most important role in defining us as unique individuals.
という文の主語 This tiny fraction of rule leisure time が強調され、さらに重複を嫌う言語「英語」によって　’the role’　が省かれた結果、
It is This tiny fraction of rule leisure time that plays () what some would argue is the most important role in defining us as unique individuals.
となった文章で、訳すなら、
「(皮肉なことに、)この余暇の時間のごく僅かの部分こそが、一部の人がユニークな個人として私たちを定義する上で最も重要だと主張しする役割を演じるものなのだ。」
という感じになるでしょう。