He is worried. で確かに完全文ですが、
worryはthat節を後ろに取れる動詞です。that節をとれる動詞は他にもsay、believeなどがあります。
文法的に細かく説明すると、ここでのthatはthat以下で動詞の内容を説明する接続詞として働き、
He is worried と she is bored を繋ぐ働きをしています。
良い目のつけどころですね。高度な文法の質問で驚きました。細かい分析をすることは英語に対する深い知識につながります。その調子でがんばってください！
リンク: https://dictionary.cambridge.org/grammar/british-grammar/that-clauses
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