I come across sentences that incorporate in+gerund following particular nouns such as “point”, “lesson” and “difficulty”. It would sound inappropriate to me for those sentences to have infinitive in place of in+gerund. Likewise, I definitely don’t think that in+gerund could be replaced with infinitive in the sentences you referred to.
I’ve been looking for the rule of grammar that explains all this. Please give me some time to prove everything if you need the evidence.

　初学者の身で差し出がましいことを申し上げるようで恐縮です。私には、質問者さんがご提示の文において「the initiative in strengthening the free-trade system」を「the initiative to strengthen the free-trade system 」と言い換えたり、「support in maintaining UN sanctions」を「support to maintain UN sanctions」と言い換えたり出来るのかどうかを判断するだけの能力はありませんが、少し感じたことを書かせていただきます。

　一般論として、「方向を表す to のつく不定詞は、その原義から、これから起こる未来的なものとして把握されていることがら、さらには現実にはない仮定を示し、これに対して動名詞はもっと現実的な、さらには実際にあった過去の事実を示」すとされています（大修館書店・刊、石橋幸太郎・編集代表「クエスチョン・ボックス　シリーズ」第７巻「不定詞・動名詞」98頁）。

　これを前提にすれば、もし仮に１「the initiative in strengthening the free-trade system」を２「the initiative to strengthen the free-trade system 」と言い換えたり、３「support in maintaining UN sanctions」を４「support to maintain UN sanctions」と言い換えたり出来るとした場合（言い換えたとしても、ニュアンスの違いは別として、少なくとも文法的には適格であるとした場合）、１は「free-trade system を今現実に強固にしようとしている（或は、強固にしつつある）ことについて日本がイニシアティブを取るであろう」といったような意味になり、２は「これから将来に向かって free-trade system を強固にしていく」ことについて日本がイニシアティブを取るであろう」といった意味になるといったような意味の違いが出て来るのではないでしょうか。３を４と言い換えた場合についても、同じようなことが言えるのではないかと思います。

　akari さんが「It would sound inappropriate to me」と仰っている文が、具体的にどのような文であったのかは分かりませんが、もしかして、文脈的に動名詞や不定詞になるべき動詞が「現実的な、さらには実際にあった過去の事実」を表すような意味合いであるような文だったということはないでしょうか。「in+gerund following particular nouns」の particular nouns が“point”や“lesson”や“difficulty だったということからして、もしかすると、「過去にこれこれであったという教訓から～」みたいなことだった可能性はありませんでしょうか。もしそうであれば、前記のようなことから、その動名詞を不定詞に代えると inappropriate な感じがすることになってしまうのも無理はないような気がします。逆に言えば、それ以外の場合には、in+gerund の代わりに不定詞が使える場合もあるのではないかという気がします（申し訳ありませんが、その実例を挙げるだけの能力は私にはありません）。

　見当外れでしたら、スルーしてください。akari さんのご回答を批判する趣旨ではありませんので、お気を悪くされませんように。

“to verb”を使う場合は、動詞がingじゃなく、他の投稿者さんが仰るようにinfinitive になります(以下参照)。

“He plans to announce that Japan will take the initiative to strengthen the free-trade system based on fair rules.”

“He also plans to seek support to maintain UN sanctions on North Korea.”

前提として動名詞や不定詞はどこでも自由に使えるわけではなく語法により制約を受けるわけですね。例えばある語句は不定詞は取るが動名詞は取らないとか、どちらとも共存できるといったように…。ご承知とは思いますが、念のため。
さて、質問内容は質問者さんの例文において in動名詞から不定詞への移行が可能かどうかですが、可能とするにはいくつか条件があると思います。
①文法 (語法) 上適格であること
②移行により意味合いに変化がないこと
③移行後の文が慣用的に不自然でないこと
以上を踏まえて可能ではないという判断をお伝えしましたが、間違いでしたらお詫びします。調査力不足につき証明には時間がかかります。
尚、Qさんのご意見はありがたく参考にさせていただきますが、以後はサイトの本旨に沿って質問者さんと直接のやりとりまたは正解のご提示をお願いしたく、他の回答への干渉はご遠慮頂くよう謹んでご提案申し上げます。

みなさん貴重なご意見ありがとうございました。私自身、日本語の文法を説明しろと言われても答えられないことのが多いと思うので、みなさんの意見が聞けただけでも大満足です。

英語を日本語に訳した時に、to不定詞も動名詞も訳があまり変わらない気がしてつい交換可能とか思ってしまいましたが、改めて間違いであったと思いました。問題のin+動名詞については使われる単語に注意してこれからは英文を読んでいきたいと思います。ありがとうございました。